Isotherme coördinaten op oppervlakken
bewerken
Isotherme coördinaten op oppervlakken werden voor het eerst in 1822 door Gauss geïntroduceerd,[1] die het bestaan van de coördinaten bewees op een willekeurig oppervlak met een analytische metriek , volgens de resultaten op omwentelingsoppervlakken van Lagrange uit 1779.[2] Korn[3] en Lichtenstein[4] bewezen dat isotherme coördinaten bestaan rond elk punt op een 2D-riemann-variëteit.
Beltrami-vergelijking
bewerken
Het bestaan van isotherme coördinaten kan worden bewezen door bekende existentiestellingen toe te passen voor de Beltrami-vergelijking, die gebaseerd zijn op Lp -schattingen voor singuliere integrale operatoren van Calderón en Zygmund.[5] [6] Een eenvoudigere benadering van de Beltrami-vergelijking is in 2000 door Adrien Douady gegeven.[7]
Als de riemann-metriek lokaal wordt gegeven als
d
s
2
=
E
d
x
2
+
2
F
d
x
d
y
+
G
d
y
2
{\displaystyle ds^{2}=E\ dx^{2}+2F\ dx\ dy+G\ dy^{2}}
dan heeft het in de complexe coördinaat
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
de vorm
d
s
2
=
λ
|
d
z
+
μ
d
z
¯
|
2
{\displaystyle ds^{2}=\lambda \left|\ dz+\mu \ d{\overline {z}}\ \right|^{2}}
waarbij
λ
{\displaystyle \lambda }
en
μ
{\displaystyle \mu }
glad zijn met
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
en
|
μ
|
<
1
{\displaystyle \left\vert \mu \right\vert <1}
. Oftewel,
λ
=
1
4
(
E
+
G
+
2
E
G
−
F
2
)
{\displaystyle \lambda ={1 \over 4}(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}\ }})}
en
μ
=
(
E
−
G
+
2
i
F
)
4
λ
{\displaystyle \mu ={(E-G+2iF) \over 4\lambda }}
Een lokale coördinaten grafiek
(
U
;
(
u
,
v
)
)
{\displaystyle (U;(u,v))}
van
M
2
{\displaystyle M^{2}}
wordt een isotherme coördinaten systeem genoemd. In isotherme coördinaten
(
u
,
v
)
{\displaystyle (u,v)}
is de lokale metriek dan
d
s
2
=
e
ρ
(
d
u
2
+
d
v
2
)
{\displaystyle ds^{2}=e^{\rho }(du^{2}+dv^{2})}
waarbij
ρ
{\displaystyle \rho }
glad is. De complexe coördinaat
w
=
u
+
i
v
{\displaystyle w=u+iv}
voldoet aan
e
ρ
|
d
w
|
2
=
e
ρ
|
w
z
|
2
|
d
z
+
w
z
¯
w
z
d
z
¯
|
2
{\displaystyle e^{\rho }\ |dw|^{2}=e^{\rho }|w_{z}|^{2}\left|\ dz+{w_{\overline {z}} \over w_{z}}\ d{\overline {z}}\ \right|^{2}}
zodat de coördinaten
(
u
,
v
)
{\displaystyle (u,v)}
isotherm zullen zijn als de Beltrami-vergelijking
∂
w
∂
z
¯
=
μ
∂
w
∂
z
{\displaystyle {\partial w \over \partial {\overline {z}}}=\mu {\partial w \over \partial z}}
een diffeomorfe oplossing heeft. Het is bewezen dat een dergelijke oplossing bestaat in elke buurt waar
‖
μ
‖
∞
<
1
{\displaystyle \lVert \mu \rVert _{\infty }<1}
.
Gaussiaanse kromming
bewerken
De gaussiaanse kromming neemt in de isotherme coördinaten
(
u
,
v
)
{\displaystyle (u,v)}
een eenvoudigere vorm aan, namelijk
K
=
−
1
2
e
−
ρ
(
∂
2
ρ
∂
u
2
+
∂
2
ρ
∂
v
2
)
{\displaystyle K=-{\frac {1}{2}}e^{-\rho }\left({\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial v^{2}}}\right)}
voetnoten
↑ (de ) CF Gauss . Allgemeine Auflösung der Aufgabe: die Theile einer gegebnen Fläche auf einer andern gegenen Fläche so abzubilden, dass die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen ähnlich wird , 1822. blz 463–475. Gearchiveerd op 20 april 2023.
↑ (fr ) J-L Lagrange . Sur la construction des cartes géographiques , 1779. in Œuvres complètes, 4, blz 637-692
↑ (de ) A Korn. Zwei Anwendungen der Methode der sukzessiven Annäherungen , 1914. blz 215–229, Springer Berlin Heidelberg ISBN 978-3-642-50426-6
↑ (de ) L Lichtenstein. Zur Theorie der konformen Abbildung: Konforme Abbildung nicht-analytischer, singularitätenfreier Flächenstücke auf ebene Gebiete , 1916. voor Bulletin international de l'Académie des sciences de Cracovie 1e jaargang. Gearchiveerd op 10 april 2022.
↑ (en ) L Ahlfors . Lectures on quasiconformal mappings , 1966. voor de American Mathematical Society ISBN 0-8218-3644-7
↑ (en ) Yōichi Imayoshi en Masahiko Taniguchi, 雅彦 谷 口. An introduction to Teichmüller spaces , 1992. blz 20-21 en 92–104, Springer Tokyo ISBN 4-431-70088-9
↑ (fr ) A Douady . Le théorème d'intégrabilité des structures presque complexes , 5 augustus 2011. blz 307–324
websites