Inwendige (topologie)

topologie

In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, bestaat het inwendige van een verzameling uit alle punten van , die niet op de rand van liggen. Een punt dat in het inwendige van ligt noemt men een inwendig punt van .

Het punt is een inwendig punt van , aangezien dit punt samen met de open bol om het punt heen, in ligt. Het punt ligt op de rand van .

Tegenover het inwendige van een verzameling staat het uitwendige, of de buitenkant van een verzameling, dat is het inwendige van het complement van deze verzameling en bestaat uit de punten die geen deel uitmaken van de verzameling en ook niet op de rand liggen.

Het inwendige van een verzameling is een topologisch begrip, dat niet voor alle verzamelingen is gedefinieerd, maar wel voor verzamelingen die een deelverzameling van een topologische ruimte zijn. Het begrip 'inwendige' is in veel opzichten duaal aan het begrip, sluiting.

Definitie bewerken

Het inwendige van een verzameling   is de verzameling van alle inwendige punten van  . Het inwendige van   wordt aangegeven door   of   Het inwendige van een verzameling heeft de volgende eigenschappen.

  1.   is een open deelverzameling van  
  2.   is de vereniging van alle open verzamelingen, die vervat zijn in  
  3.   is de grootste open verzameling, die in   liggen
  4. Een verzameling   is open dan en slechts dan als  .
  5.  . Het bepalen van het inwendige van   is een idempotente bewerking.
  6. Als   een deelverzameling is van  , dan is   een deelverzameling van  
  7. Een open verzameling   is dan en slechts dan een deelverzameling van   als   een deelverzameling is van  

Soms wordt de tweede of derde eigenschap hierboven genomen als de 'definitie' van de topologische inwendige.

De tegengestelden van 'inwendige', 'deelverzameling', 'vereniging', 'vervat in', 'grootste' en 'open' zijn 'afsluiting', 'superset', 'doorsnede', 'die bevat', 'kleinste' en 'gesloten'.

Oorspronkelijk bewerken

Zij   een topologische ruimte. Het inwendige van een deelverzameling   van   is de grootste open verzameling van   die in   ligt.

Vaak wordt het inwendige van een verzameling genoteerd door een cirkeltje boven de uitdrukking van de verzameling:  

Het inwendige van een deelverzameling   van een topologische ruimte   bestaat altijd en kan worden uitgedrukt als de vereniging van alle open delen van   die in   liggen:

 

Er is immers minstens een zo'n verzameling  , omdat de lege verzameling   er altijd nog is, en de vereniging van een verzameling van open verzamelingen is ook open.

Eigenschappen bewerken

  • Het inwendige van de lege verzameling is gelijk aan de lege verzameling.
  • Voor elke verzameling   ligt   in  .

Voorbeelden bewerken

  • In de reële getallen   is  .
  • In de euclidische ruimte   is het inwendige van de verzameling   van de rationale getallen leeg.
  • Als   het complexe vlak   is, dan geldt  
  • In enige euclidische ruimte is het inwendige van een eindige verzameling gelijk aan de lege verzameling.

Eigenschappen bewerken

  • Het inwendige is een open verzameling.
  • Iedere open verzameling is haar eigen inwendige.
  • Het complement van het inwendige is de afsluiting van het complement: