Igusa zeta-functie

In de diofantische meetkunde is een Igusa-zetafunctie een soort genererende functie, die het aantal oplossingen van een vergelijking telt, modulo p, p ², p ³, enzovoort.

Definitie

Voor een priemgetal p is K een p-adisch lichaam, d.w.z. $[K:\mathbb {Q} _{p}]<\infty$, R de valuatiering en P het maximale ideaal. Voor $z\in K$ duiden we met $\operatorname {ord} (z)$ de waardering aan van z, $\mid z\mid =q^{-\operatorname {ord} (z)}$. We hebben ook $ac(z)=z\pi ^{-\operatorname {ord} (z)}$ voor een uniformiserende parameter π van R .

Verder laten we $\phi :K^{n}\to \mathbb {C}$ een Schwartz-Bruhat-functie zijn. Dat is een lokaal constante functie met compacte ondersteuning. Laat $\chi$ een karakter zijn van $R^{\times }$.

In deze context associeert men met een niet-constante polynoom $f(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ de Igusa zeta-functie

$Z_{\phi }(s,\chi )=\int _{K^{n}}\phi (x_{1},\ldots ,x_{n})\chi (ac(f(x_{1},\ldots ,x_{n})))|f(x_{1},\ldots ,x_{n})|^{s}\,dx$

waar $s\in \mathbb {C} ,\operatorname {Re} (s)>0,$ en dx is Haar-maat, zo genormaliseerd dat $R^{n}$ maat 1 heeft.

Stelling van Igusa

Jun-Ichi Igusa toonde in 1974 aan dat $Z_{\phi }(s,\chi )$ een rationale functie is in $t=q^{-s}$. Het bewijs gebruikt de stelling van Hironaka over de resolutie van singulariteiten. Later werd een geheel ander bewijs gegeven door Jan Denef dat gebruik maakte van p-adische celdecompositie.

Congruenties modulo machten van P

Laat $\phi$ de karakteristieke functie zijn van $R^{n}$ en $\chi$ het triviale karakter te zijn. Laat $N_{i}$ het aantal oplossingen zijn van de congruentie

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv 0\mod P^{i}$ .

Dan is de Igusa zeta-functie

$Z(t)=\int _{R^{n}}|f(x_{1},\ldots ,x_{n})|^{s}\,dx$

nauw verwant aan de Poincaré-serie

$P(t)=\sum _{i=0}^{\infty }q^{-in}N_{i}t^{i}$

door

$P(t)={\frac {1-tZ(t)}{1-t}}.$