Een homogene differentiaalvergelijking is een differentiaalvergelijking van eerste orde, met een algemene vorm die kan geschreven worden als:
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
=
0
{\displaystyle P(x,y)\,\mathrm {d} x+Q(x,y)\,\mathrm {d} y=0}
waarin
P
(
x
,
y
)
{\displaystyle P(x,y)}
Q
(
x
,
y
)
{\displaystyle Q(x,y)}
homogene veelterm in
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
k
{\displaystyle k}
Dit is wiskundig equivalent met een andere algemene vorm, die men regelmatig vindt:
F
(
x
,
y
)
d
x
+
d
y
=
0
{\displaystyle F(x,y)\,\mathrm {d} x+\mathrm {d} y=0}
waarbij
F
(
x
,
y
)
{\displaystyle F(x,y)}
Oplossingsmethode
bewerken
Gezien
P
(
x
,
y
)
{\displaystyle P(x,y)}
Q
(
x
,
y
)
{\displaystyle Q(x,y)}
y
=
t
x
,
d
y
=
x
d
t
+
t
d
x
{\displaystyle y=t\,x,\quad \mathrm {d} y=x\,\mathrm {d} t+t\,\mathrm {d} x}
de vergelijking:
x
k
P
(
1
,
t
)
d
x
+
x
k
Q
(
1
,
t
)
(
x
d
t
+
t
d
x
)
=
0
{\displaystyle x^{k}P(1,t)\,\mathrm {d} x+x^{k}Q(1,t)\,(x\,\mathrm {d} t+t\,\mathrm {d} x)=0}
Hierin kan nu de factor met de
k
{\displaystyle k}
x
{\displaystyle x}
d
x
x
+
Q
(
1
,
t
)
d
t
P
(
1
,
t
)
+
t
Q
(
1
,
t
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{x}}+{\frac {Q(1,t)\,\mathrm {d} t}{P(1,t)+t\,Q(1,t)}}=0}
of korter:
d
x
x
+
F
(
t
)
d
t
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{x}}+F(t)\,\mathrm {d} t=0}
Door scheiden van veranderlijken krijgt men:
d
x
x
=
−
F
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{x}}=-F(t)\,\mathrm {d} t}
De algemene oplossing is bijgevolg:
ln
(
x
)
+
∫
F
(
t
)
d
t
=
C
{\displaystyle \ln(x)+\int F(t)\,\mathrm {d} t=C}
met
C
{\displaystyle C}
t
{\displaystyle t}
t
=
y
/
x
{\displaystyle t=y/x}
Het uiteindelijke resultaat is een familie impliciete functies van
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
C
{\displaystyle C}
De vergelijking:
(
x
−
y
)
d
x
+
(
x
+
y
)
d
y
=
0
{\displaystyle (x-y)\,\mathrm {d} x+(x+y)\,\mathrm {d} y=0}
is homogeen van orde 1. Na substitutie
y
=
t
x
{\displaystyle y=t\,x}
x
(
1
−
t
)
d
x
+
x
(
1
+
t
)
(
t
d
x
+
x
d
t
)
=
0
{\displaystyle x(1-t)\,\mathrm {d} x+x(1+t)\,(t\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} t)=0}
en ten slotte:
d
x
x
+
1
+
t
1
+
t
2
d
t
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{x}}+{\frac {1+t}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t=0}
zodat de algemene oplossing wordt:
ln
(
x
)
+
1
2
ln
(
1
+
t
2
)
+
arctan
(
t
)
=
K
{\displaystyle \ln(x)+{\tfrac {1}{2}}\,\ln(1+t^{2})+\arctan(t)=K}
na subsitutie
t
=
y
/
x
{\displaystyle t=y/x}
ln
(
x
2
+
y
2
)
+
2
arctan
(
y
x
)
=
2
K
{\displaystyle \ln(x^{2}+y^{2})+2\,\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=2K}
Een herleidbaar geval
bewerken
Een differentiaalvergelijking van de vorm:
(
A
x
+
B
y
+
E
)
d
x
+
(
C
x
+
D
y
+
F
)
d
x
{\displaystyle (Ax+By+E)\,\mathrm {d} x+(Cx+Dy+F)\,\mathrm {d} x}
kan worden herleid tot een homogene differentiaalvergelijking door een lineaire verschuiving van het assenkruis, zowel in de x-richting als in de y-richting. De mate waarin wordt verschoven wordt bepaald door de oplossing van het stelsel:
A
x
+
B
y
+
E
=
0
{\displaystyle Ax+By+E=0}
C
x
+
D
y
+
F
=
0
{\displaystyle Cx+Dy+F=0}
Bij de vergelijking:
(
3
x
+
y
−
7
)
d
x
+
(
2
x
−
y
−
3
)
d
x
{\displaystyle (3x+y-7)\,\mathrm {d} x+(2x-y-3)\,\mathrm {d} x}
levert dit stelsel een oplossing:
x
=
2
;
y
=
1
{\displaystyle x=2;\quad y=1}
De subsititutie
x
=
u
+
2
;
y
=
v
+
1
{\displaystyle x=u+2;\quad y=v+1}
maakt van deze differentiaalvergelijking een homogene van graad 1:
(
3
u
+
v
)
d
u
+
(
2
u
−
v
)
d
v
=
0
{\displaystyle (3u+v)\,\mathrm {d} u+(2u-v)\,\mathrm {d} v=0}
Alternatieve methoden om vergelijkingen van de vorm
y
′
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle y'=f(x,y)}
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
=
0
{\displaystyle P(x,y)\mathrm {d} x+Q(x,y)\mathrm {d} y=0}
