Harmonisch getal

In de wiskunde wordt voor ieder positief geheel getal $n$ het n-de harmonisch getal gedefinieerd als:

$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$

Het gaat hier zoals te zien om rationale getallen en indien de sommatie uitgewerkt wordt leidt dit tot breuken met oneven tellers en even noemers:

De rij van de harmonische getallen

In breukvorm geschreven zijn de eerste 25 termen van de rij van de harmonische getallen:

$1,~3/2,~11/6,~25/12,~137/60,~49/20,~363/140,~761/280,~7129/2520,~7381/2520,$

$83711/27720,~86021/27720,~1145993/360360,~1171733/360360,~1195757/360360,$

$2436559/720720,~42142223/12252240,~14274301/4084080,~275295799/77597520,$

$55835135/15519504,~18858053/5173168,~19093197/5173168,~444316699/118982864,$

$1347822955/356948592,~34052522467/8923714800$

De tellers van de harmonische getallen worden de getallen van Wostenholme genoemd en vormen de rij A001008 in OEIS. De noemers vormen de rij A002805 in OEIS.

De harmonische getallen vormen de afgekapte sommen van de harmonische reeks, algemeen bekend als divergent. Ze zijn verwant aan wat alternerende harmonische getallen kunnen worden genoemd:

$H'_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\frac {1}{k}}$

Dit zijn de afgekapte sommen van de alternerende harmonische reeks, algemeen bekend als convergent en ze zijn recursief uit te drukken in de harmonische getallen met de formules

$H'_{2n}=H_{2n}-H_{n}$

en

$H'_{2n+1}=H_{2n}-H_{n}+{\frac {1}{2n+1}}$

De harmonische getallen (en daardoor ook de alternerende harmonische getallen) kunnen analytisch als volgt uitgedrukt worden:

$H_{n}=\gamma +\psi (n+1)$

waarin $\gamma$ de constante van Euler-Mascheroni en $\psi$ de digammafunctie is, gedefinieerd als:

$\psi (z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln(\Gamma (z))={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}$

Een expliciete formule voor $H_{n}$ is:

${\begin{aligned}H_{n}&=G_{n}-(n+1)\left\lfloor {\frac {G_{n}}{n+1}}\right\rfloor \end{aligned}}$

waarin

${\begin{aligned}G_{n}&={\frac {{{n+(n+1)!} \choose {n}}-1}{(n+1)!}}\end{aligned}}$

Verwantschappen

De harmonische getallen en de gegeneraliseerde harmonische getallen worden gebruikt in verschillende disciplines binnen de wiskunde, zoals de combinatoriek en de studie van speciale functies. Binnen de speciale functies spelen ze bijvoorbeeld een rol bij de polygammafunctie en de polyalgoritmische functie, en in de zèta-functie van Riemann. Verder komen ze voor binnen recente ontwikkelingen binnen de grote algemeenheid zoals enkele verwante vragen binnen de benadering van Hermite - Padé.

Literatuur

• R. L. Graham, D. E. Knuth and O. Patashnik (1990): Concrete Mathematics, Addison-Wesley, bladzijde 259.
• D. E. Knuth: The Art of Computer Programming. Addison-Wesley, volume 1, bladzijde 615.

Zie ook

• Identiteit van de harmonische getallen

Externe link

• Harmonic Number op MathWorld

Bronnen, noten en/of referenties