Ferrersdiagram
Een Ferrersdiagram is een grafische voorstelling van een partitie van een positief geheel getal n als een som van positieve gehele getallen. Het is genoemd naar Norman Macleod Ferrers.
Constructie bewerken
Stel dat men de partitie 6+4+3+1 van het getal 14 wil voorstellen. De getallen in de som worden gerangschikt van groot naar klein. Het diagram bestaat dan uit vier rijen met respectievelijk zes, vier, drie en een cirkels:
|
| 6 + 4 + 3 + 1 |
Een Ferrersdiagram bestaat dus uit een aantal rijen van cirkels, stippen of vierkantjes, links uitgelijnd (dit is de zogenaamde Engelse notatie; er bestaan ook andere conventies), waarbij een lijn nooit langer is dan de lijn erboven. De voorstelling met vierkantjes (zoals in de bijgaande afbeelding) noemt men ook een Young-diagram; deze wordt gebruikt voor de constructie van Young-tableaux.
Geconjugeerde partitie bewerken
Wanneer men een Ferrersdiagram spiegelt langsheen de dalende diagonaal, zodat de rijen veranderen in kolommen en de kolommen in rijen, verkrijgt men een nieuw Ferrersdiagram van een andere partitie die men de geconjugeerde partitie noemt:
|
↔ |
|
| 6 + 4 + 3 + 1 | = | 4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1 |
Soms is een partitie gelijk aan de geconjugeerde partitie; bijvoorbeeld 6 = 3 + 2 + 1. Zo een partitie noemt men zelf-geconjugeerd.
Durfeevierkant bewerken
Elk Ferrersdiagram heeft een Durfeevierkant, genoemd naar William Durfee, een leerling van James Joseph Sylvester. Het is het grootste vierkant van cirkels dat men in het diagram kan maken beginnend in de linkerbovenhoek:
De zijde van het Durfeevierkant is de rang van de partitie: het is het grootste getal k zodat de partitie ten minste k delen bevat die groter of gelijk zijn aan k.
Een partitie en haar geconjugeerde partitie hebben een even groot Durfeevierkant, dus dezelfde rang.
Voor alle partities van een gegeven getal n is de maximale zijde van een Durfeevierkant gelijk aan . Men kan de partities groeperen in klassen op basis van de zijde van hun Durfeevierkant.
