Euler-lagrange-vergelijking

In de variatierekening is de euler-lagrange-vergelijking (of lagrange-vergelijking) een differentiaalvergelijking, waarvan de oplossingen functies zijn, waarvoor een gegeven functionaal stationair is. De vergelijking werd in de jaren 1750 opgesteld door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler en de Italiaans-Franse wiskundige Joseph Louis Lagrange.

Omdat een differentieerbare functionaal stationair is in haar lokale maxima en minima, wordt de euler-lagrange-vergelijking gebruikt bij het oplossen van optimaliseringsproblemen, waarin men, gegeven een bepaalde functionaal, de minimaliserende (of maximaliserende) functie zoekt. Dit is analoog aan Fermats stationaire punten stelling in de analyse, die stelt dat als een differentieerbare functie een lokaal extreem bereikt, haar afgeleide gelijk is aan nul.

In de lagrangiaanse mechanica wordt de evolutie van een natuurkundig systeem, vanwege het principe van Hamilton van stationaire actie, voor de actie van dit systeem beschreven door de oplossingen van de euler-lagrange-vergelijking. In de klassieke mechanica is de euler-lagrangevergelijking gelijk aan de bewegingswetten van Newton, maar heeft de vergelijking het voordeel dat zij in elk systeem van gegeneraliseerde coördinaten dezelfde vorm aanneemt.

Definitie bewerken

De euler–lagrange-vergelijking is de gewone differentiaalvergelijking

 

Daarin is   een reëelwaardige functie met continue eerste partiële afgeleiden, en zijn   en   de partiële afgeleiden van   met betrekking tot het tweede en derde argument.

Als de dimensie van de ruimte   groter is dan 1, is dit een systeem van differentiaalvergelijkingen, een voor elke component:

 

De oplossing van de euler–lagrange-vergelijking is een functie   van een reëel argument   die een stationair punt is van de functionaal (actie)

 ,

waarin   de differentieerbare functie is die moet worden gevonden, waarvoor   en  

  de afgeleide is van  :

 

en waarbij   de raakbundel van   is (de ruimte van mogelijke waarden van afgeleiden van functies met waarden in  ).

Voorbeeld bewerken

Zoek de reëelwaardige functie   op het interval  , met   en   waarvoor de lengte van de grafiek van   zo klein mogelijk is. Die lengte is

 

De integrand is:

 

De partiële afgeleiden zijn:

 

en

 

Dat geeft voor de euler–lagrange-vergelijking:

 

waaruit volgt

 
 
 

Dus de grafiek is een rechte lijn.