Euclidische topologie

In de topologie en vooral in de algemene topologie, een deelgebied van de wiskunde, is de euclidische topologie de natuurlijke topologie, die wordt geïnduceerd op een euclidische ruimte $\mathbb {R} ^{n}$ door de euclidische metriek. Om de verzameling $\mathbb {R} ^{n}$ van een topologie te voorzien, betekent te zeggen welke deelverzamelingen van $\mathbb {R} ^{n}$ open zijn, en dit op een zodanige manier te doen, dat aan de drie volgende axioma's wordt voldaan:

1. De vereniging van open verzamelingen is een open verzameling.
2. De eindige doorsnede van open verzamelingen is een open verzameling.
3. De verzameling $\mathbb {R} ^{n}$ en de lege verzameling $\varnothing$ zijn open.

De euclidische topologie op de euclidische ruimte $\mathbb {R} ^{n}$ wordt voortgebracht door de volgende boloppervlakken.

$O_{\varepsilon }(x)=\{y\in \mathbb {R} ^{n}\mid \|x-y\|_{2}<\varepsilon \}$

Dit zijn open verzamelingen en zij bestaan uit alle vectoren, die op een afstand minder dan $\varepsilon$ van een gegeven vector $x$ liggen. Zij induceren allemaal dezelfde topologie, omdat op $\mathbb {R} ^{n}$ alle normen equivalent zijn.