Erlangs B-formule

In de wachtrijtheorie en de telefonie is Erlangs B-formule een uitdrukking die de kans geeft dat in een systeem alle lijnen bezet zijn en dat een oproep zodoende geweigerd moet worden. Er wordt daarbij verondersteld dat er geen wachtruimte is voor oproepen die niet direct verwerkt kunnen worden, en deze oproepen dus verloren gaan. De formule is genoemd naar de opsteller Agner Krarup Erlang.

Formule

Voor een wachtsysteem met $m$ bedieningsstations en aankomsten en bedieningen volgens een poissonproces, met aankomstintensiteit $\lambda$ (het gemiddeld aantal aankomsten per tijdseenheid) en verwerkingsintensiteit $\mu$, wordt de kans $p_{m}$ dat alle bedieningsstations (of lijnen) bezet zijn, gegeven door:

$p_{m}={\frac {{\frac {1}{m!}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{m}}{\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{n}}}$

Aangezien de kans slechts afhangt van de verkeersintensiteit $a=\lambda /\mu$ kan de formule ook geschreven worden als:

$p_{m}={\frac {{\frac {1}{m!}}a^{m}}{\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n!}}a^{n}}}$

De parameter $a$ wordt uitgedrukt in erlang.

Zie wachtrijtheorie voor een uitgebreidere uitleg van de definitie van deze parameters

Afleiding

Het wachtrijsysteem dat in de definitie van de formule wordt gebruikt, is een $\mathrm {M|M|m|m}$-systeem, waarmee aangegeven wordt dat het aankomstproces een poissonproces is, er $m$ equivalente exponentiële bedienden zijn en er maximaal $m$ klanten in het systeem kunnen zijn. Het systeem is een voorbeeld van een birth-death-wachtlijnsysteem.

Het systeem kan in totaal $m$ klanten bevatten, evenveel als er bedienden zijn. Elke klant zal dus bediend worden, maar zijn alle bedienden bezet, dan worden verdere klanten geweigerd. Klanten die binnengelaten worden, beschikken dus direct over een bedieningsstation.

De geboorte- en sterfte-intensiteiten van het BD-proces worden gegeven door:

$\lambda _{k}={\begin{cases}\lambda ,&\ 0\leq k\leq m\\0,&\ k\geq m\end{cases}}$

$\mu _{k}=k\mu ,\ k\geq 1$

Met een bijhorend toestandsdiagram:

Toestandsdiagram van een $\mathrm {M|M|m|m}$-wachtlijnsysteem

De evenwichtsvoorwaarde door een oppervlak tussen twee toestanden levert dan:

$\lambda p_{k-1}=k\mu p_{k},\ 1\leq k\leq m$

Hieruit volgt onmiddellijk

$p_{k}={\frac {\lambda }{k\mu }}p_{k-1},\ 1\leq k\leq m$,

dus

$p_{k}=\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{k}{\frac {1}{k!}}p_{0},\ 0\leq k\leq m$

Uit de normeringsvoorwaarde volgt de waarde van $p_{0}$:

$p_{0}={\frac {1}{\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{n}}}$

Zodat de evenwichtsverdeling voor het aantal klanten in het systeem gelijk is aan

$p_{k}={\frac {{\frac {1}{k!}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{k}}{\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{n}}},\ 0\leq k\leq m$

Deze verdeling is een afgeknotte poissonverdeling. Als speciaal geval van deze laatste formule is $p_{m}$ de kans dat alle servers bezet zijn, wat juist Erlangs B-formule is zoals die eerder gegeven was.