Binnen de lineaire algebra , een deelgebied van de wiskunde , heten de m × n {\displaystyle m\times n} matrices A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} equivalent als er een inverteerbare m × m {\displaystyle m\times m} P {\displaystyle P} n × n {\displaystyle n\times n} Q {\displaystyle Q}
B = P A Q {\displaystyle B=PAQ} Equivalente matrices kunnen gezien worden als matrices van dezelfde lineaire afbeelding, maar ten opzichte van verschillende bases. Dat kan ingezien worden door de keuze van bases v 1 {\displaystyle v_{1}} v 2 {\displaystyle v_{2}} n {\displaystyle n} V , {\displaystyle V,} w 1 {\displaystyle w_{1}} w 2 {\displaystyle w_{2}} m {\displaystyle m} W , {\displaystyle W,} Q {\displaystyle Q} P {\displaystyle P} basistransformaties zijn,
Q = K v 1 K v 2 − 1 {\displaystyle Q=K_{v_{1}}K_{v_{2}}^{-1}\quad } v 1 {\displaystyle v_{1}} v 2 {\displaystyle v_{2}} en
P = K w 2 K w 1 − 1 {\displaystyle P=K_{w_{2}}K_{w_{1}}^{-1}\quad } w 1 {\displaystyle w_{1}} w 2 {\displaystyle w_{2}} Daarin zijn
K v 1 : V → R n {\displaystyle K_{v_{1}}:V\to \mathbb {R} ^{n}} K v 2 : V → R n {\displaystyle K_{v_{2}}:V\to \mathbb {R} ^{n}} K w 1 : W → R m {\displaystyle K_{w_{1}}:W\to \mathbb {R} ^{m}} K w 2 : W → R m {\displaystyle K_{w_{2}}:W\to \mathbb {R} ^{m}} de betrokken coördinatiseringen. Dan is
B = P A Q = K w 2 K w 1 − 1 A K v 1 K v 2 − 1 , {\displaystyle B=PAQ=K_{w_{2}}K_{w_{1}}^{-1}AK_{v_{1}}K_{v_{2}}^{-1},} dus
K w 2 − 1 B K v 2 = K w 1 − 1 A K v 1 = L : V → W {\displaystyle K_{w_{2}}^{-1}BK_{v_{2}}=K_{w_{1}}^{-1}AK_{v_{1}}={\mathcal {L}}:V\to W} een lineaire afbeelding die met betrekking tot de verschillende bases wordt voorgesteld door zowel A {\displaystyle A} B . {\displaystyle B.}
Equivalentierelatie
bewerken
De relatie van equivalentie tussen matrices is inderdaad een equivalentierelatie , want:
(Reflexiviteit) Elke matrix is equivalent met zichzelf; kies voor P {\displaystyle P} Q {\displaystyle Q} eenheidsmatrices .
(Symmetrie) Als A {\displaystyle A} B , {\displaystyle B,} B {\displaystyle B} A , {\displaystyle A,} P {\displaystyle P} Q {\displaystyle Q} A = P − 1 B Q − 1 {\displaystyle A=P^{-1}BQ^{-1}} (Transiviteit) Als A {\displaystyle A} B , {\displaystyle B,} B {\displaystyle B} C , {\displaystyle C,} B = P A Q {\displaystyle B=PAQ} en
C = R B S {\displaystyle C=RBS}
zodat
C = ( R P ) A ( Q S ) {\displaystyle C=(RP)A(QS)}
en dus is ook A {\displaystyle A} C . {\displaystyle C.}
Equivalente matrices hebben dezelfde rang .
