Einstein-tensor

De Einstein-tensor is een tensor die de kromming van de ruimtetijd uitdrukt in de algemene relativiteitstheorie. De tensor maakt deel uit van de Einstein-vergelijkingen en geeft de evenredigheidsrelatie weer tussen de kromming en de energie (inclusief die vertegenwoordigd door rustmassa) per volume-eenheid.

Meer precies is de Einstein-tensor een object dat uitgedrukt kan worden in termen van tweede afgeleides van de metriek van een gegeven ruimte. In wiskundige context kan dat elke ruimte zijn. In natuurkunde heeft de ruimte de betekenis van de vierdimensionale ruimtetijd en is de einstein-tensor dan ook de kromming van de gegeven ruimtetijd.

Definitie

In wiskundige context wordt de Einstein-tensor $\mathbf {G}$ gedefinieerd als een tensor van rang 2 op een Riemannse variëteit als:

$\mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R,$

met $\mathbf {R}$ de Ricci-tensor, $\mathbf {g}$ de metrische tensor en $R$ de scalaire kromming. In de taal van tensoren schrijft men dit als

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.$

Expliciete uitdrukking

De Ricci-tensor en scalaire kromming kunnen eenduidig bepaald worden gegeven de metrische tensor, en dus kan de Einstein-tensor in principe expliciet uitgedrukt worden in termen van de metriek. Omdat deze uitdrukking er niet eenvoudig uitziet, verkiest men meestal de bovenstaande (impliciete) definitie van de Einstein-tensor. Deze kan berekend worden aan de hand van de uitdrukking voor de Ricci-tensor in termen van de christoffel-connectie:

${\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }R\\&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }R_{\gamma \zeta }\\&=(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })R_{\gamma \zeta }\\&=(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })(\Gamma _{\gamma \zeta ,\epsilon }^{\epsilon }-\Gamma _{\gamma \epsilon ,\zeta }^{\epsilon }+\Gamma _{\epsilon \sigma }^{\epsilon }\Gamma _{\gamma \zeta }^{\sigma }-\Gamma _{\zeta \sigma }^{\epsilon }\Gamma _{\epsilon \gamma }^{\sigma }),\end{aligned}}$

hierin is $\delta _{\beta }^{\alpha }$ de kronecker-tensor en zijn de christoffel-symbolen $\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }$ gedefinieerd als

$\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \epsilon }(g_{\beta \epsilon ,\gamma }+g_{\gamma \epsilon ,\beta }-g_{\beta \gamma ,\epsilon }).$.

De concrete uitdrukking voor $\mathbf {G}$ ziet er niet eenvoudig uit, en wordt meestal niet vermeld.

Voorkomen in algemene relativiteitstheorie

De Einstein-tensor komt voor in het linkerlid van de Einstein-vergelijkingen:

$G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.$

In de natuurlijke eenheden, ziet dit er uit als

$G_{\mu \nu }=8\pi \,T_{\mu \nu }.$

Daarnaast kunnen ook de bianchi-identiteiten eenvoudig uitgedrukt worden met behulp van de einstein-tensor:

$\nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0.$

De eenvoud van deze vergelijkingen, uitgedrukt met de einstein-tensor toont de diepe geometrische en fysische betekenis van het object aan.

Zie ook

• Tensoren in de algemene relativiteitstheorie
• Einstein-vergelijkingen

Literatuur

• Ohanian, Hans C., Remo Ruffini (1994), Gravitation and Spacetime, Tweede editie. W. W. Norton & Company. ISBN 0-393-96501-5.
• Martin, John Legat (1995), General Relativity: A First Course for Physicists, Revised edition. Prentice Hall. ISBN 0-13-291196-5.