Divergentie (wiskunde)

In de wiskunde is divergentie het tegenovergestelde van convergentie. Een rij, reeks (som) of een integraal is divergent als deze niet convergent is. Ruwweg kan men stellen dat divergentie inhoudt dat in de limiet de waarde blijft schommelen, of niet begrensd is.

Voorbeelden

De oneindige som

$1-1+1-1+...$

is divergent. Als men de som van de eerste $n$ termen neemt, met $n$ even, is de som nul, maar voor oneven $n$ is deze gelijk aan een. Het is duidelijk dat de totale som dus niet goed gedefinieerd kan zijn.

Een ander bekend voorbeeld is de integraal

$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\mathrm {d} x$

Aangezien de functie $1/x$ snel klein wordt, zou men kunnen hopen dat de bovenstaande integraal eindig is, maar dat is niet zo. Elementaire analyse geeft inderdaad dat

$\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\mathrm {d} x=\ln a$

en dit is duidelijk onbegrensd voor $a\rightarrow \infty$.

Natuurkunde

Ook in de natuurkunde treedt divergentie op. Het behandelen van divergente uitdrukkingen in de veldentheorie is de verwezenlijking van de theorie van renormalisatie en regularisatie.

Trivia

Een reeks die overduidelijk divergent lijkt, is :

$1+2+3+\ldots$

De som kan natuurlijk nooit echt bepaald worden. Wel kan bij wijze van grapje het volgende 'bewezen' worden.

Eerst wordt de 'uitkomst' bepaald van $1-1+1-1+\ldots$

Neemt men een even aantal termen, dan is de som 0; voor een oneven aantal is de som 1. Het lijkt dus redelijk om te stellen:

$1-1+1-1+\ldots ={\tfrac {1}{2}}$

Bepaal nu:

$S=1-2+3-4+\ldots$.

Er geldt:

$2S=1-2+3-4+\ldots +1-2+3-4+\ldots =1+(-2+1)+(3-2)+(-4+3)+\ldots =1-1+1-1+\ldots ={\tfrac {1}{2}}$

dus

$S={\tfrac {1}{4}}$

Noem nu:

$S'=1+2+3+4+\ldots$,

dan

$S'-S=1+2+3+4+\ldots -(1-2+3-4+\ldots )=4+8+12+\ldots =4S'$.

Dus is:

$3S'=-S=-{\tfrac {1}{4}}$,

oftewel

$S'=1+2+3+4+\ldots =-{\tfrac {1}{12}}$.

Zie ook

• Convergentie (Uitgebreidere en meer precieze uitleg)
• Divergente reeks
• regularisatie