Dirichletreeks

Een dirichletreeks, genoemd naar de Duitse wiskundige Johann Dirichlet, is in de wiskunde een reeks van de vorm:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},$

waarin $s$ en de coëfficiënten $(a_{n})$ complexe getallen zijn. De reeks wordt, bij gegeven coëfficiënten, opgevat als een complexe functie van het argument $s$.

Dirichletreeksen vinden toepassing in de analytische getaltheorie om getaltheoretische problemen met behulp van methoden uit de functietheorie te onderzoeken. Een bekend voorbeeld is de riemann-zèta-functie. Ze komen ook als voortbrengende functie voor.

Convergentie

De functie $f$ die bij gegeven $a_{n}$ bepaald wordt door de dirichletreeks:

$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$,

heeft alleen betekenis voor waarden van $s$ waarvoor de reeks convergent is.

Is de rij $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ begrensd, dan is de reeks absoluut convergent op het open halfvlak waarin $\Re (s)>1$. De functie $f$ is op dat halfvlak dan een analytische functie.

De riemann-zèta-functie

Als $a_{n}=1$ voor alle $n$, ontstaat de riemann-zèta-functie

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$,

die voor $s=1$ de harmonische reeks beschrijft en voor andere waarden van $s$ de hyperharmonische reeksen.

Voetnoten