In de meetkunde is een conchoïde ("schelpachtige", Grieks: κόγχος (kongchos), schelp) een vlakke kromme die de baan is van een punt dat, vanuit een vast punt – de pool of het richtpunt – gezien, op een vaste gegeven afstand ligt van een gegeven kromme (de richtcurve, richtkromme). Een conchoïde bestaat dus uit twee delen: een deel dat, gezien vanuit de pool, "voor" de kromme ligt en een deel "achter" de kromme.

Definitie bewerken

 
Constructie van een conchoïde. Vanuit een vast punt   wordt naar elk punt   van de richtcurve   een rechte getekend. Op zo'n rechte worden dan twee punten op een vaste afstand   van   bepaald. Deze punten beschrijven de conchoïde.

De conchoïde die wordt voortgebracht door een richtcurve  , een punt   (de pool) dat niet op de richtcurve ligt, en een afstand  , is de verzameling van de punten die op de verbindingslijnen van   met alle punten   van   liggen, en wel op een afstand   van  .

Algemene beschrijving bewerken

Een eenvoudige manier om een conchoïde te beschrijven is de oorsprong als pool te kiezen en de richtcurve in poolcoördinaten te definiëren. De keuze van de oorsprong als pool doet geen afbreuk aan de algemeenheid. Is de richtcurve   gegeven door de relatie:

 

dan bestaat de conchoïde uit de punten met:

 

Een conchoïde bestaat dus altijd uit twee takken:

 
 

Bij sommige conchoïden zijn lussen in de pool (in dit geval de oorsprong) een typisch kenmerk. Deze lussen treden op als de voerstraal (het verbindingslijnstuk van de pool met een punt van de richtcurve) voor bepaalde waarden van de variabele   kleiner is dan de constante  . Dit kan gebeuren in de uitdrukking voor   in bovenstaande formules. Indien   echter te groot wordt, zullen deze lussen weer verdwijnen, doordat   in de uitdrukking voor   dan negatief wordt.

De conchoïde van Nicomedes bewerken

 
Drie voorbeelden van de conchoïde van Nicomedes.

De eerste in de meetkunde behandelde vorm was de reeds in het oude Griekenland bekende conchoïde van Nicomedes. Deze eenvoudige conchoïde heeft de oorsprong   als pool en een rechte lijn als richtcurve. Indien daarvoor de horizontale rechte   wordt gekozen, is de vergelijking van deze rechte in poolcoördinaten:[1]

 

zodat de conchoide op afstand   in parametervorm beschreven wordt door:

 
 

Nevenstaande figuur bevat drie conchoïden van Nicomedes. Ze hebben alle drie de rechte   als richtcurve, maar de afstand   neemt drie waarden aan:   (zwart),   (blauw) en   (groen).

In het algemeen geldt voor een conchoïde van Nicomedes: indien   is, dan bevat een van beide delen van de conchoïde een lus in de pool. Voor   is de pool een keerpunt van dat deel, en voor   ontstaat er geen lus; de conchoïde gaat dan niet door de pool. Voor elke waarde van   naderen beide delen van een conchoïde de richtcurve asymptotisch.

Voorbeeld, een algemene conchoïde bewerken

 
Voorbeeld van een algemene conchoïde. De rode curve is de richtcurve, de blauwe en de zwarte curve zijn de twee delen van de conchoïde. Er zijn twee kleine lussen in de oorsprong.

Indien de richtcurve geen rechte is, ontstaan tal van andere vormen als conchoïden. De conchoïde met de oorsprong als pool en richtcurve:

 

en met afstand   is weergegeven in nevenstaande figuur.

De waarde van   is hier zo gekozen dat er twee (kleine) lussen zijn in de oorsprong, gelegen in het 2e en 4e kwadrant. Deze lussen ontstaan hier (bij benadering) voor waarden van   in de intervallen   en  .
Lussen treden bij deze conchoïde op voor waarden van   in het interval  . Voor   is de voerstraal van de richtcurve steeds groter dan  , zodat   in   positief is. Voor   is de voerstraal kleiner dan  , waardoor het blauwe deel niet meer door de oorsprong gaat.

Zie ook bewerken