In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een compacte groep een topologische groep, waarvan de topologie compact is. Compacte groepen zijn natuurlijke generalisaties van eindige groepen met discrete topologie en hebben eigenschappen die in belangrijke mate daarmee overeenkomen. Compacte groepen hebben een goed begrepen theorie met betrekking tot groepsbewerkingen en de representatietheorie

In het hieronderstaande wordt aangenomen dat alle groepen voldoen aan de hausdorff-eigenschap.

Compacte lie-groepen bewerken

Lie-groepen vormen een klasse van topologische groepen, en daarbinnen hebben de compacte lie-groepen een bijzonder goed ontwikkelde theorie. Basisvoorbeelden van compacte lie-groepen zijn

De classificatiestelling van compacte lie-groepen stelt dat op eindige uitbreidingen en eindige dekkingen na, dit een uitputtende lijst van voorbeelden is, die overigens al enige redundantie bevat.

Classificatie bewerken

Gegeven een willekeurige compacte lie-groep   kan men haar identiteitscomponent   nemen, die samenhangend is. De factorgroep   is de groep van componenten  , die eindig moet zijn, aangezien   compact is. We hebben daarom een eindige uitbreiding

 

Nu heeft elke compacte, samenhangende lie-groep   een eindige dekking voor

 

waarin

 

een eindige abelse groep is en   een product is van een torus en een compacte, samenhangende, enkelvoudig samenhangende Lie-groep  :

 

Ten slotte is elke compacte, samenhangende, enkelvoudig samenhangende lie-groep   een product van compacte, samenhangende, enkelvoudig samenhangende enkelvoudige lie-groepen   elk waarvan isomorf is aan precies een van

  •  
  •  
  •  
  •   of  .

Verdere voorbeelden bewerken

Groepen die geen lie-groepen zijn en die niet de structuur van een variëteit dragen, zijn bijvoorbeeld de additieve groep   van p-adische gehele getallen en de constructies daarvan. In feite is elke profiniete groep een compacte groep. Dit betekent dat Galoisgroepen compacte groepen zijn, een fundamenteel feit uit de theorie van de algebraïsche uitbreidingen in het geval van oneindige graad.

Pontryagin-dualiteit biedt een groot aantal voorbeelden van compacte commutatieve groepen. Deze staan in dualiteit met abelse discrete groepen.

Haar-maat bewerken

Compacte groepen hebben alle een haar-maat die invariant is onder zowel links- als rechtstranslaties. Met andere woorden: deze groepen zijn unimodulair. De haar-maat kan eenvoudig tot een kansmaat worden genormaliseerd analoog aan   op de cirkel.

Een dergelijke haar-maat is in veel gevallen eenvoudig te berekenen; voor orthogonale groepen wist Adolf Hurwitz bijvoorbeeld reeds hoe dit moest. In gevallen van lie-groepen kan de haar-maat altijd worden gegeven door een invariante differentiaalvorm. In het profiniete geval zijn er vele deelgroepen van eindige index, en de haar-maat van een nevenklasse zal de reciproque van de index zijn. Daarom zijn integralen vaak heel direct berekenbaar, een feit dat vaak wordt toegepast in de getaltheorie.

Zie ook bewerken