Cartesiaanse vergelijking

Een cartesiaanse vergelijking is een wiskundige vergelijking die een meetkundige plaats beschrijft in de n-dimensionale Euclidische ruimte.

Algemeen

De algemene gedaante van een cartesiaanse vergelijking is een functie van n variabelen (de cartesiaanse coördinaten), gelijkgesteld aan nul:

$\,f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=0$

Meestal werkt men twee-dimensionaal, dat wil zeggen in een plat vlak (2D), dan stelt men de cartesiaanse coördinaten voor als $\,(x,y)$ ofwel werkt men ruimtelijk (3D), waar men de cartesiaanse coördinaten voorstelt als $\,(x,y,z)$. Waarbij x,y en z een waarde voorstellen op hun gelijknamige as.

Voorbeelden

Vlakken

Vlakken in 3D zijn cartesiaanse vergelijkingen van de eerste graad van de vorm:

$\,Ax+By+Cz+D=0$

Zo wordt het de drie coördinaatvlakken bepaald door

• XY-vlak (grondvlak): $\,z=0$
• XZ-vlak: $\,y=0$
• YZ-vlak: $\,x=0$

Cirkel en sfeer

In 2D wordt een cirkel met straal $\,r$ door $\,(a,b)$ beschreven door:

$\,f(x,y)=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}-r^{2}=0$

of herkenbaarder als:

$\,(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

Voor een sfeer (in 3D) wordt dit:

$\,(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}$

Kwadratisch oppervlak

Kwadratisch oppervlakken worden beschreven door een cartesiaanse vergelijking van de tweede graad in een meer dan 2 dimensionale ruimte.

$\,A_{1}x^{2}+A_{2}y^{2}+A_{3}z^{2}+B_{1}xy+B_{2}xz+B_{3}yz+C_{1}x+C_{2}y+C_{3}z+D=0$

Voorbeelden zijn: cilinders, kegels en sferen.

Krommen

Krommen kunnen in de meer-dimensionale ruimte, beschreven worden als doorsnijding van twee oppervlakken. Men heeft dus twee cartesiaanse vergelijkingen nodig die beiden moeten gelden. Kortweg noemt men dit dan de cartesiaanse vergelijking van de kromme.

Een cirkel in het grondvlak kan beschreven worden als de doorsnijding van een omwentelingscilinder (met als as de z-as) en het grondvlak:

$\,x^{2}+y^{2}=r^{2}$

$\,z=0$

Verband met de parametervergelijking

Door uit de parametervergelijking van een object de parameters te elimineren bekomt men de cartesiaanse vergelijking.

Voorbeelden

De parametervergelijking van een cirkel (met als middelpunt de oorsprong) in het vlak is

$\,x=r*cos(t)$

$\,y=r*sin(t)$

Hieruit kan meteen de bekende cartesiaanse vergelijking gedestilleerd worden door kwadrateren en optellen.

Bij rechten in 3D kan eenzelfde werkwijze gehanteerd worden. Gegeven een parametervoorstelling:

$\,x=x_{0}+t.v_{1}$

$\,y=y_{0}+t.v_{2}$

$\,z=z_{0}+t.v_{3}$

Uit deze drie vergelijkingen kan men drie uitdrukkingen voor t halen, die aan elkaar gelijk moeten zijn:

$\,{\frac {x-x_{0}}{v1}}={\frac {y-y_{0}}{v2}}={\frac {z-z_{0}}{v3}}$

Dit zijn duidelijk twee aaneengeschakelde cartesiaanse vergelijkingen.