Carlylecirkel

Een carlylecirkel is een cirkel in de vlakke meetkunde die, ten opzichte van een vastgelegd rechthoekig coördinatenstelsel, verbonden is met een vierkantsvergelijking. De cirkel gaat door het punt (0,1) en de wortels van de vergelijking. De cirkel is genoemd naar de Schotse schrijver, historicus en wiskundige Thomas Carlyle (1795–1881).

Definitie

Fig. 1 - Carlylecirkel K; de lila lijn is de parabool $y=x^{2}-px+q$

Bij de vergelijking $x^{2}-px+q=0$ is de cirkel die in het beschouwde rechthoekige coördinatenstelsel het lijnstuk $AB$ met $A=(0,1)$ en $B=(p,q)$ als middellijn heeft, de carlylecirkel van die vergelijking.

Analyse

In de figuur rechts (fig. 1) is de carlylecirkel $K$ getekend van de vierkantsvergelijking $x^{2}-px+q=0$, dus met middellijn $AB$, waarbij $A=(0,1)$ en $B=(p,q)$. De punten $P_{1}$, $P_{2}$ zijn de snijpunten van $K$ met de $x$-as en $M$ is het middelpunt van $K$. De punten $B'$ en $B''$ zijn de loodrechte projecties van $B$ op respectievelijk de $x$- en de $y$-as. $M'$ is de loodrechte projectie van $M$ op de $x$-as. Omdat $\angle AB''B$ recht is, ligt $B''$ op de cirlkel. Volgens de machtstelling voor een cirkel is:

$OP_{1}\times OP_{2}=OA\times OB''$

Voor de $x$-coördinaten $x_{1}$ en $x_{2}$ van respectievelijk $P_{1}$ en $P_{2}$ geldt dus:

$x_{1}x_{2}=1\,q=q$

Omdat $M'$ het midden is van het lijnstuk $P_{1}P_{2}$, en daarmee ook van het lijnstuk $OB'$ is:

${\tfrac {1}{2}}(x_{1}+x_{2})={\tfrac {1}{2}}p$,

dus

$x_{1}+x_{2}=p$

$x_{1}$ en $x_{2}$ zijn dus inderdaad de wortels van de vergelijking $x^{2}-px+q=0$.

Constructie van een regelmatige vijfhoek

Fig. 2 - Constructie van een regelmatige vijfhoek

Toepassing van een carlylecirkel

Het construeren van een regelmatige vijfhoek is equivalent met het tekenen van de oplossingen $z_{0},z_{1},\ldots ,z_{4}$ van de vergelijking $z^{5}-1=0$ in het complexe vlak. Deze oplossingen liggen alle op de eenheidscirkel en hebben een argument dat een veelvoud is van ${\tfrac {2}{5}}\pi =72^{\circ }$ (zie fig. 2).

Omdat $z_{0}=1$ een oplossing is van die vergelijking, voldoen de andere oplossingen aan de vergelijking:

$z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1=0$

Het paar $z_{1},z_{4}$, en ook het paar $z_{2},z_{3}$, ligt symmetrisch ten opzichte van de reële as. Daarom zijn $z_{1}+z_{4}=x_{1}$ en $z_{2}+z_{3}=x_{2}$ reële getallen.

Omdat $z_{1}^{2}=z_{2},\,z_{1}^{3}=z_{3},\,z_{1}^{4}=z_{4}$ volgt direct dat $x_{1}+x_{2}=p=-1$. Verder is $x_{1}x_{2}=q=z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{4}z_{2}+z_{4}z_{3}=z_{3}+z_{4}+z_{1}+z_{2}=-1$, waaruit volgt dat $x_{1}$ en $x_{2}$ oplossingen zijn van de vergelijking $x^{2}+x-1=0$. Bij die vergelijking hoort de carlylecirkel waarvan het punt $B=(p,q)=(-1,-1)$ een eindpunt van een middellijn is. Met $A=(0,1)$ is dan $M=(-{\tfrac {1}{2}},0)$ het middelpunt van die cirkel.

De punten $z_{1},z_{4}$ zijn dan te construeren als snijpunten van de middelloodlijn van het lijnstuk $(0,x_{1})$ met de eenheidscirkel, en $z_{2},z_{4}$ als snijpunten van de middelloodlijn van het lijnstuk $(x_{2},0)$ met de eenheidscirkel.

Opmerkingen

• Alle noodzakelijke constructiestappen kunnen bij een gegeven cartesisch assenstelsel met passer en (ongemerkte) liniaal worden uitgevoerd.
• Carlylecirkels kunnen ook worden gebruikt bij de constructie van de regelmatige 17-hoek, 257-hoek en de 65537-hoek. In deze gevallen is er evenwel sprake van een serie na elkaar te construeren carlylecirkels, met (steeds) ingewikkelder vierkantsvergelijkingen.

Zie ook

• Zeventienhoek
• Tweehonderdzevenenvijftighoek
• Vijfenzestigduizend vijfhonderdzevenendertighoek

Literatuur

• John H. Conway, Richard K. Guy (1996): The Book of Numbers. New York (USA): Springer Verlag Inc.; pp. 181–210.
• D.E. Joyce (1996): Euclid’s Elements, Book IV, Prop. 11 (To inscribe an equilateral and equiangular pentagon in a given circle). Worcester (MA, USA): Department of Mathematics and Computer Science, Clark University.
• G.F. Seelinger, B.E. Kinser (2008): Revisiting Thomas Carlyle and Mathematics.^{[dode link]} In: Carlyle Studies Annual, vol. 24; pp. 67–75. JSTOr

Externe links

• D. Dirkse: Constructie van een regelmatige vijfhoek. Op: Dav Data.
• Eric W. Weisstein: Carlyle Circle. Op: MathWorld − A Wolfram Web Resource.