Étale cohomologie

In de algebraïsche meetkunde en de homologische algebra, deelgebieden van de wiskunde, zijn étale cohomologiegroepen van een algebraïsche variëteit of van een schema algebraïsche analoga van de gebruikelijke cohomologiegroepen met eindige coëfficiënten van een topologische ruimte. Het concept werd geïntroduceerd door Alexander Grothendieck om zo de vermoedens van Weil te bewijzen. Étale cohomologietheorie kan worden gebruikt om ℓ-adische cohomologie te construeren, wat in de algebraïsche meetkunde een voorbeeld is van een Weil-cohomologietheorie. Dit heeft vele toepassingen, zoals het bewijs van de vermoedens van Weil en de constructie van representaties van eindige groepen van het Lie-type .

De fundamenten van deze theorie werden verder uitgewerkt door Grothendieck en Michael Artin. Grothendieck gebruikte étale cohomologie om een aantal van de vermoedens van Weil te bewijzen. Het overgebleven vermoeden werd bewezen door Pierre Deligne in 1974, gebruik maken van de ℓ-adische cohomologie. Dit was het analogon van de Riemann-hypothese.

Oorspronkelijk ontwikkelde Grothendiek de theorie in een extreem algemeen raamwerk, gebruik maken van Grothendieck-topoi en Grothendieck-universa. Achteraf gezien bleek een deel van deze middelen onnodig voor de meeste praktische toepassingen. In 1977 gaf Deligne een vereenvoudigde uiteenzetting van de étale cohomologie.

Motivatie

Voor complexe algebraïsche variëteiten zijn invarianten uit de algebraïsche topologie zoals de fundamentaalgroep en cohomologiegroepen erg nuttig, en men zou graag analogen hiervan hebben voor variëteiten over andere velden, zoals eindige velden. (Een reden hiervoor is dat Weil suggereerde dat de vermoedens van Weil bewezen konden worden met behulp van zo'n cohomologietheorie). In het geval van cohomologie van coherente schoven liet Serre zien dat men een bevredigende theorie kon krijgen door gewoon de Zariskitopologie van de algebraïsche variëteit te gebruiken, en in het geval van complexe variëteiten geeft dit dezelfde cohomologiegroepen (voor coherente schoven) als de veel fijnere complexe topologie. Voor constante schoven zoals de schoof van gehele getallen werkt dit echter niet: de cohomologiegroepen gedefinieerd met behulp van de Zariski-topologie gedragen zich slecht. Weil had bijvoorbeeld een cohomologietheorie voor variëteiten over eindige velden voor ogen met dezelfde kracht als de gebruikelijke singuliere cohomologie van topologische ruimten, maar in feite heeft elke constante schoof op een irreducibele variëteit triviale cohomologie (alle hogere cohomologiegroepen zijn nul).

De reden dat de Zariskitopologie niet goed werkt is dat hij te grof is: hij heeft te weinig open verzamelingen. Er lijkt geen goede manier te zijn om dit op te lossen door een fijnere topologie te gebruiken op een algemene algebraïsche variëteit. Grothendiecks belangrijkste inzicht was dat hij zich realiseerde dat er geen reden is waarom de meer algemene open verzamelingen deelverzamelingen van de algebraïsche variëteit zouden moeten zijn: de definitie van een schoof werkt perfect voor elke categorie, niet alleen voor de categorie van open deelverzamelingen van een ruimte. Hij definieerde étale cohomologie door de categorie van open deelverzamelingen van een ruimte te vervangen door de categorie van étale-afbeeldingen naar een ruimte: ruwweg kunnen deze beschouwd worden als open deelverzamelingen van eindige onvertakte bedekkingen van de ruimte. Deze blijken (na veel werk) net genoeg extra open verzamelingen te geven om redelijke cohomologiegroepen te krijgen voor sommige constante coëfficiënten, in het bijzonder voor coëfficiënten Z/nZ als n copriem is met de karakteristiek van het veld waarover men werkt.

Enkele basisintuïties van de theorie zijn de volgende:

• De étale eis is de voorwaarde die het mogelijk zou maken om de impliciete functiestelling toe te passen als het waar zou zijn in de algebraïsche meetkunde (maar dat is het niet - impliciete algebraïsche functies worden in oudere literatuur algebroïd genoemd).
• Er zijn bepaalde basisgevallen, van dimensie 0 en 1, en voor een abelse variëteit, waar de antwoorden met constante schoven van coëfficiënten voorspeld kunnen worden (via Galoiscohomologie en Tate-modules).